3.5.- Sistema de inventario con patrón de demanda potencial y roturas recuperables

Cuando se permite la existencia de roturas en el sistema, la variación del nivel de inventario dependerá del valor relativo del nivel inicial de stock S frente a la demanda total d = rT. Hay tres situaciones posibles. Si S 0, sólo hay roturas; si 0 S rT, al principio hay stock en el sistema y luego se dan situaciones de rotura; y si S rT, no hay roturas y, únicamente hay stock en el inventario. Tanto la cantidad promedio mantenida en inventario I1(S,T), como la rotura promedio I2(S,T) dependen de las variables que representan el nivel de stock inicial y el período de programación. Téngase en cuenta que cuando S 0, no hay stocks y, por tanto, I1(S,T) = 0. Si S rT, entonces siempre hay inventario en todo el periodo de programación y la cantidad promedio mantenida en el inventario es

Cuando 0 S rT, hay stocks en la primera parte del ciclo del inventario y en la otra se presentan las roturas. Ahora, sea 1 el período de tiempo donde hay stocks en inventario, y sea 2 el período de tiempo donde no hay stocks y aparecen las roturas. Lógicamente, el período de programación T es igual a la suma de 1 y 2 . El periodo de tiempo 1 durante el cual existe inventario, se puede calcular, ya que en ese instante el nivel de stock debe ser cero, esto es

Además, tenemos que el número de reposiciones por unidad de tiempo para todas las diferentes situaciones posibles que se pueden dar en el sistema de inventario es siempre R(T) = 1/T. Ahora debemos calcular los tres tipos fundamentales de costos que intervienen en el sistema de inventario: el costo de mantenimiento, el costo de rotura y el costo de reposición. El costo de mantenimiento por unidad de tiempo es C1(S,T) = hI1(S,T), el costo de rotura por unidad de tiempo es C2(S,T) = wI2(S,T), y el costo derivado de la reposición de la mercancía por unidad de tiempo es C3(T) = AR(T). El costo total por unidad de tiempo del inventario C(S,T) es la suma de estos tres costos. Así, el costo total del sistema de inventario es

La función C(S,T) es lineal con respecto a S cuando S 0 y cuando S rT, y es no lineal con respecto a S cuando 0 S rT. Vamos ahora a demostrar que el mínimo debe caer dentro del intervalo 0 S rT. El mínimo no puede estar en la región S < 0, ya que el costo C(S = 0,T) es siempre menor que el costo C(S,T). Del mismo modo, el mínimo no puede estar en la otra región en la cual S > rT ya que, en este caso, C(S = rT,T) es siempre menor que el costo C(S,T). En consecuencia, para encontrar la solución del sistema de inventario, tenemos que buscar el mínimo de la función C(S,T) dentro del rango 0 S rT, es decir, tenemos que minimizar